Здравей, разгледах я, но освен "POST" заявката към сървър не виждам "GET", от къде взимаш данните зада напълниш li Elements on DOM tree, когато искаш да покажеш контактите, а също така нямаш и "DELETE" заявка, как изтриваш елемента. От това което виждам Пълниш сървъра с данни, но не работиш с тях чрез заявки. Нямам достъп  до ресурсите ти и незная условито на задачата ти. Но при AJAX би трябвало да става въпрос и за CRUD заявки, а именно работа със сърварни данни с които от този код аз лично не виждам да работиш.

Всъщност при промяна на url с мой сървър подавам данни и ги изпращам, но немога да ги изтрия или да ги видя от него.

Също виждам че си усложнил много достъпа до елеминтити например бутоните, не ти е нужен queriSelector, виждам че имаш ID-та защо не ползваш getElementById и защо ти е нужен обект когато можеш да ползваш просто променливи.

Също не е добра практика да ползваш функции, методи и променливи с еднакви имена, като например:

phonebook() { return document.querySelector('ul#phonebook') } -> това ти е част от обекта elements

let phonebook = [];

-->> а това пък ти е променлива която създаваш два реда по на долу.

Но пак се извинявам, не зная задачата и неините условия и може би греша.

Успех.